# Test this assertion correctly? (A rational approximation to $\pi$?)

Posted 3 months ago
338 Views
|
|
1 Total Likes
|
 In A Rational Approach to Pi Beukers asserts on the right column of page 377 that the integral, $$I_n=\int_{0}^{\pi/4}d\phi \Big( 4 \sin(\phi) \big(\sin(\phi)-\cos(\phi)\big) \Big)^n,$$Produces a rational approximation to $\pi$, which tends to quality $Q$ greater than $0.90$ in the limit of $n \rightarrow \infty$. To test this assertion, you may just find the linear recurrence of A006139, and iterate to high $n$, say 5000, PiRec = (1 + n) a[n] + 1/2 (-3 - 2 n) a[1 + n] + 1/4 (-2 - n) a[2 + n]; BigData[Rec_, IC_, nMax_] := Transpose[{ RecurrenceTable[{Rec == 0, a[0] == 0, a[1] == IC[[1]]}, a, {n, 1, nMax}], RecurrenceTable[{Rec == 0, a[0] == 1, a[1] == IC[[2]]}, a, {n, 1, nMax}]}] Divide @@ # & /@ BigData[PiRec, {8, -2}, 6] BigFrac=Divide@@BigData[PiRec, {8, -2}, 5000][[-1]] Out[]:={-4, -3, -19/6, -160/51, -1744/555, -644/205} Out[]:=-(10193278946599391809618766025865486773012532822470417892492906856155\ 0356243550526000897194415436492942230881308065754161128453936916062566\ 0723646262494131045376882668194073201573523999495655972208742985858831\ 8534500246072481134020831567892139376393723888711373722138835645908903\ 8817354094377672507923314208649515504526077265734601547358347065976414\ 8170941422196729987325477562650831360553920450981294094276040086662628\ 7884147009928027098941568410404402212546223607621597509464193795153706\ 9266244152828040486344692750223059449055492767659236531494939702803303\ 4176527634797899787951030683565934478166637556134366492940432019818991\ 7173163695570711310346328338567374919524141039393654098900626961887917\ 4995278175162191487909752777987949341199275689058377091335292263754586\ 3453494809432168189996676190958237155961086431439267611058996810937155\ 0559816780467209065286324439832995449438080970352949906491751984107171\ 8976295774701270221551810221510872248304820203733321663397468005320653\ 2688840802529429112023903880171079550012043333463549544769076311922256\ 3867284058043078895472393235704445459587387755604748803983639397113184\ 0245980836146507606833054375024688508584010667370897802041916120005629\ 0572206213855484593671059813131984516487968417697618637092584858856357\ 4208861669264818888082249953708448380325250609792950517509056274939600\ 8726793464789099491569947764921691450301134566438981879922820835933178\ 0132817479618003775943145676081789816140336936820817000137309103721431\ 6164658641657811849193776156639630225310115222847553019724466206211077\ 2003852402573017817104868127190814765919638322201063463788134958562955\ 7701714115888833763069706187441915836204326112177095271226479706621619\ 7771708986115376521389842035380402330895921088917465810771519802484669\ 1671677914738889858147715034643725575833446943271791007903480667640189\ 9654770166563948993613721224865355268607119275847732902855142627803337\ 4352625780679252333013933493189846638788707173977822871751387810257566\ 5618843078214481337598810581447256779890472054127078020379545346704985\ 2693285393864568434783703819595275362201775126953849101432249582016224\ 3453475655289720413305422609963736463169107315721843603695294879602060\ 2827891453037995217969107485676230849764451928673262232217262560091309\ 4349070213311443737264467587123494715776398662639943984770498036943819\ 3024688217966137352085392457352791229776344860425560787556687803225824\ 5492776900501359961485845355161873866498950364473130717880632166429320\ 3419893156988882347307169449845507840951582425690249428892283533763910\ 0650986424369304476069305511203123129029287251172681223559460277531642\ 9255451698101503638558962677021286469360971967106194945828294267040647\ 4277750844891582684140510154177980185599052564515147380748756125667873\ 6682179159452055470665461660405488755902119043354882225654843515949615\ 4955599092397354897892291580939377928554294970739617622905544444972375\ 5666149719115485131127722978473346394410468122362333666231205839313190\ 9554869241544862239818829348408427143522846608262728581136143910221052\ 1523729214914724275312492227587636294425487207812265092308614421841175\ 0486875841819141101057493718055826760369381878520564688346874464500589\ 1085004439091040119515381935362139264079299369312868867117302740169892\ 9602309878815352163343820942210389682091268849045398525123423530029423\ 0676531930598212217119109279762236882302069514741202227762229746157659\ 7180280194018483793441826463427878113837147273862637765131694550332312\ 3896143778247975632439424066104053102604191154373557905681477079878788\ 8704920804530128614462387925194504270254368814649805052136801940056515\ 8966776439386819354910403139900069422326489088080151288428090142193364\ 8110634296802600788821865987762050335905257567456129613933771651751146\ 3860100384952964469935087224045398178634453573791864841873014220526287\ 3833904038486813097412787703153238778378416611948327901536901009976233\ 7630989311508367253719414485246201074359248356112749499384519814235784\ 4472268619978638054836742647411023348728045787291156657002220644805091\ 4830640974423764957677823644361045819573572520696952935872551463611822\ 0224176900642953325812407728844997931879367756965386825007785213469571\ 3075185500838098860463066239312885666646616959447545388605740128186492\ 8494958664204966643416512680862272090726394299432425813143534346604298\ 2632964744532056336009220470675902600410370714005216324947902175572182\ 9597381271292085449114425994695911580453217017740278248518752583628717\ 3780596965278611098840065496691854522745915543709697141120072221673628\ 8201394083060766556131597742390707727108317649851881133875109767615548\ 8910164727690883222304755818769747679239973367192467155394637931366084\ 9959609679513368049685392818590203027292846667048866007715060180707599\ 8344840417945661854173170833358725935737575909018908323262883765743626\ 0008250465561839021097500127767294904446996136374671303159035461632/ 3244621461331682077356372914570580062364817759911206323734366164683\ 9754272444177122786147444743842552757761818368969343884231173533900306\ 8329384657000328753136702766287010810255813742286385006138717717388415\ 2551673886633547671610637009702591212882508201995325491691444300438245\ 8073241353719769541716320686205727132808880487365174492464828603412442\ 5982267339314463843004081911911871131098097979972359434462582555703525\ 3778125921290423490381017477873359177353600556167154513019760215128092\ 0154780764013934239842867961965274783892516531819398702863383012947646\ 2282135693314556733145463195522152449783018710183046273331778121526359\ 8289546126820546587813087941607359686506397295109286308998869133815094\ 9585348012657911435342582789708210790233296757761900350093623645844897\ 3743286562354131099065107297975483664891477729271325654117960785701032\ 7397138691728324256734773173580083858517475978633364334498532768168389\ 8365531974612514547661626169596417154326302128123220034255791234677102\ 6745621984051544403286227620971595709325529142232972369337230928655886\ 8062133930356628343371745582391824905209350220618628045087222511983624\ 6893054486313889029419310144601234028976753853815106772390099878830618\ 1200900470587186958375600852591509497998993130082726424252387863825877\ 3412246195624520145308774063341213809404086491005806890529957958505638\ 5971290090519890827725797979196043506227098231777248665653374545212426\ 3763362728053092485779536231534216029639187766043280981810023946766934\ 9230725915329369024213304550540509006284266708487340382917338318299189\ 3004936190067017987467634444984174940846294152581130103309875727611078\ 7013210130823130076449584934061225521583422960144768141012534678222444\ 9601388205656883153929389591974594048378824476617593954052540340721697\ 0410840248403940105793333519760622950270458099497739187588496686168409\ 6799004559829336043555198033954486001899128705828647141115235923278181\ 5860824660823341479610995958123818429373201393845704284110656848323692\ 1229354251392348053210297911441635785651900478350712861326718902930901\ 2671647770798207885835408642122201044864501170028743978302412414659598\ 8074513895702421583895059655410245796456024789525977606096246250995874\ 9185085649066494929907626240699536377651359251021686874392437873594678\ 8313719968494415852894858854937549647594899162911510027955364682363872\ 0062992048201688117212159920614208825620775558350584089922542989207236\ 4182505980440459188520953617920811145625748877863755601915820325571283\ 4556016631412064635438484285274098220102670870196964483481638855940227\ 8894836822205940667992680598974316054525930420930791071067626743227361\ 5595907183677077408107773627124840052186078638637149050724545821103471\ 4911027540337569977954522657393458832776800219599603450673836237926932\ 0513781837287107774519506068801701818864220662061330019675152582056702\ 9316713926649131677587534123539360744745881144830758815531293573937331\ 7445183029696313964285357285679453439726052269582042284185958946062009\ 8678232981090639362787818786390175224104773914804534698509362532775901\ 1875649670906546755536536046693825717538673950292006385030388688185271\ 1496725413518632007218025969170094537559171290608958191581168329696759\ 5904568220025803063226194819442371132087577282053228180315620149458210\ 2408223407496343014155665270968363444620290120928130154276335204243756\ 2840654394202863903611800638128703983239932467876240820892897579999585\ 4734203652543047559586351038270477745696061458930723451998410942073127\ 3978914849981804988152519332114907099173650960672023961577192819921296\ 8798414325759195628957136010740182906561001748103068278804234416890016\ 4722773722616236816305699361023600529834002130031955413985996292110278\ 8722092151249139025424877133193127724376404139986738841467596758408093\ 0021969606664963962434996013212371622856197169715491262959449938119632\ 1511114379069430113742660012436458791664922027766671788037604579165106\ 2345525987042310146268511682681407941234175992250795680495977466677464\ 4672549788417746259274571575863160136649675327851222647122902297503457\ 6470036238331033963619623537840194479324180397956111109416606923361414\ 6810975974692946224279512885745404848617837804274216688857341952851335\ 2658172685709662240584982177765364063330186975796599231243442244356145\ 0652695691705231273741341595503647396242008162871083663458608583898507\ 0162362296421187788135441659247978864826083716653058719044818135410265\ 6541551788550344395947572762697846364269780267331561038551692893422849\ 0365752111018789161075992986843092541895610352177683081974281964259043\ 7819493431314222128087017698790855712248138046071240830059112902022858\ 6127833915348617963348077427801499104262016750693996038562651325849520\ 1971247969900167544161814370993933941603791294052760301977339968721934\ 8574710845346216953729546703688230282309182359829455986074267465765850\ 8462533777303074318457713307784901098342773205427549601914627415625) The first problem is that we don't know if Mathematica calculates correctly to this order of magnitude. A check is given by the quality, $MaxExtraPrecision = 10000; {Denominator[BigFrac]^.79 N[Pi + BigFrac, 1000] > 1,Denominator[BigFrac]^.8 N[Pi + BigFrac, 1000] > 1} Out[]:={False,True} This measurement places$0.79
 I would avoid floating point exponents like .97 or .8 and do as much of the calculation with exact numbers as possible. If Mathematica is not wrong, Q seems to be .7934: \$MaxExtraPrecision = 10000; { Denominator[BigFrac]^(7934/10000) (Pi + BigFrac) > 1, Denominator[BigFrac]^(7945/10000) ( Pi + BigFrac) > 1}