By trial and error I happened upon a solution,
exportRules = {"A" -> {{-0.5, 0.5, 0.5,
0.}, {0.3333333333333333, -1.6666666666666667, \
-0.3333333333333333, 0.3333333333333333}, {-0.5, 0.5, 0.,
0.}, {0., -2., 0., 0.}},
"B" -> {{0.}, {1.3333333333333333}, {0.}, {2.}},
"C" -> {{1., 0., 0., 0.}, {0., 1., 0., 0.}, {0., 0., 1., 0.}, {0.,
0., 0., 1.}, {0., 0., 0., 0.}, {0., -4., 0., 0.}},
"D" -> {{0.}, {0.}, {0.}, {0.}, {0.}, {4.}}};
CloudExport[
ExportString[exportRules, {"MAT", "LabeledData"}], "Character8",
CloudObject["StateSpace.mat"]]
I'm not sure why I have to do this, but it appears to work.